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16.10.2012

Inventor: Flächenträgheitsmoment, Widerstandsmoment, Trägheitsmoment

Ich habe mit den ganzen Berechnungen zu Flächenträgheitsmoment, Widerstandsmoment und Trägheitsmoment seit über 15 Jahren nichts mehr aktiv am Hut, das mal als Warnung vorweg ;). Hier aber trotzdem eine kleine Übersicht zu den verschiedenen Möglichkeiten zu den genannten Größen da ich dazu gerade im Zusammenhang mit Inventor und AutoCAD Mechanical recht wenig gefunden haben.

Flächenträgheitsmoment

Das Flächenträgheitsmoment, auch als Flächenmoment 2. Grades bezeichnet, ist in der technischen Mechanik eine aus dem Querschnitt eines Balkens abgeleitete geometrische Größe, die an der Beschreibung seines Widerstands gegen Beanspruchung auf Biegung und Torsion beteiligt ist. Diese ist auch an der Beschreibung der Stabilität von Stäben gegen Knicken und von Schalen gegen Beulen beteiligt.

Schauen wir uns also zuerst das Flächenträgheitsmoment an. Gegeben ist ein Rechteck 2x3 mm groß.

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Die Formel zur Berechnung des Flächenträgheitsmomentes eines Rechtecks lautet:

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In unserem Fall also für Ix = ( Ho ) ^ 3 oE * B / 12 oE = 4,5 mm^4

Das bekommen wir auch über die Parameter einfach berechnet:

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Der Inventor kann uns das aber auch selbst ausrechnen, und zwar über die Funktion "Bereichs-Eigenschaften" im Register "Prüfen".

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Eine weitere Möglichkeit das Trägheitsmoment zu ermitteln, ist über die Querschnittsanalyse ebenfalls im Ribbon "Prüfen". Dort kannst du dann die entsprechenden Einstellungen vornehmen und eine oder mehrere Flächen wählen oder Querschnitte anlegen und dann aus der Tabelle die Werte auslesen. Die Werte kannst du dann auch mittels "Exportieren..." in eine Textdatei schreiben.

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Widerstandsmoment

Das Widerstandsmoment ist in der technischen Mechanik ein gebräuchliches Maß für den Widerstand, den ein Körper mit gegebenem Querschnitt einer bestimmten Belastung entgegensetzt:

  • das axiale Widerstandsmoment oder Biegewiderstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand gegen Biegung (Balken 1, 2 im Bild).
  • das polare Widerstandsmoment oder Torsionswiderstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand gegen Torsion (Balken 4 im Bild).

Das Widerstandsmoment wird im Ingenieurwesen verwendet, um die maximale Biege- oder Torsionsbeanspruchbarkeit von Bauteilen zu ermitteln, u.a. zur statischen Berechnung von Trägern nach der Balkentheorie erster Ordnung. Es ist üblicherweise in technischen Tabellen von Profilen zu finden.

Schauen wir uns das Widerstandmoment an. Das Widerstandsmoment wird wie folgt berechnet:

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Widerstandmoment  W = Flächenträgheitsmoment I / größter Abstand der Randfaser zur neutralen Faser amax. Das bedeutet in unserem Fall:

Wx = 4,5 mm^4 / 1,5mm = 3 mm^3

Das selbe Ergebnis bekommen wir auch, wenn wir über die Parameter berechnen:

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Wenn wir nun das Bauteil mit der Länge L=100mm extrudieren und den Träger auf Biegung berechnen wollen, dann können wir das rechnerisch recht einfach machen:

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Normalspannung = Biegemoment / Widerstandsmoment [N/mm^2]

Nehmen wir eine Kraft von 10N an, dann haben wir ein Biegemoment von Mb = 100mm * 10N = 1000N mm

Und somit Normalspannung = 1000 Nmm / 3 mm^3 = 333,33 N/mm^2

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Und hier der Vergleich zum Ergebnis der FEM-Berechnung.

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Analyse der Biegebeanspruchung in AutoCAD Mechanical

Ähnlich Analysen können wir auch in AutoCAD Mechanical durchführen. Hier dasselbe Rechteck (siehe dazu auch Flächenträgheitsmoment einer Skizze ermitteln) in AutoCAD Mechanical und wieder das Flächenträgheitsmoment ermittelt mit dem Befehl AMINERTIA.

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Sobald der Infoblock mit dem Flächenträgheitsmoment erstellt ist kann mittels des Befehls AMDEFLINE und Angabe des Träger als Linie, der Lager und Lasten und die Belastung ermittelt werden.

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Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment, auch Massenträgheitsmoment oder Inertialmoment, ist eine physikalische Größe in der klassischen Mechanik. Es gibt den Widerstand eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung an. Dabei spielt es die Rolle, die bei einer geradlinigen Bewegung die Masse hat; deswegen ist in der älteren Literatur auch die Bezeichnung Drehmasse gebräuchlich. Als physikalische Größe kommt es erstmals 1740 im Werk Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum von Leonhard Euler vor.

Das Trägheitsmoment eines Körpers hängt von seiner Form, der Massenverteilung und zusätzlich noch von der Drehachse ab. Zur vollständigen Beschreibung des Trägheitsverhaltens eines starren Körpers reicht deshalb eine einzelne Zahl nicht aus. Man verwendet dafür den Trägheitstensor, aus dem das Trägheitsmoment für jede beliebige Achse berechnet werden kann.

Anders sieht die Sache beim Trägheitsmoment aus. Hier ein zweites Beispiel:

Gegeben ist ein Zylinder mit Radius r = 50 mm und einer Höhe Hk = 100 mm. Schauen wir uns die Formel für die Berechnung des Trägheitsmoments eines Zylinders an:

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Trägheitsmoment J ist ungefähr Masse * Radius ^2 [kg mm^2]

Unser Zylinder aus Stahl hat eine Masse von 8,930 kg (ausgelesen aus den physikalischen Eigenschaften). Bei einem Radius von 50mm ergibt sich folgender Wert bei der Drehung um die Symmetrieachse z:

Jz = m * r^2 = 8,93 Kg * (50mm) ^2 = 11162,5 kg mm^2

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Nun schauen wir uns den exakten Wert in den iProperties an:

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Weitere Berechnungsmöglichkeiten dazu im Inventor

Im Konstruktions-Assistent kann man auch Träger berechnen. Sogar die Ermittlung des Widerstandmoments ist für vordefinierte Querschnitte möglich.

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Auch die FEM-Berechnung kann über die Gestell-Analyse Profile über ihr Widerstandsmoment berechnen.

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Ich hoffe, die Begriffe und Möglichkeiten sind nun etwas klarer durch diese kleine Einführung.

(Quelle: Wikipedia: Flächenträgheitsmoment, Widerstandsmoment, Trägheitsmoment)

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